Flavio Romero Bezerra Lopes Filho
Curso de Matemática
Professora Eliana Nogueira
A história das cônicas
As seções cônicas são conhecidos antes da época de Euclides (325265 a.C.), associado à história dessas curvas, temos Apolônio que nasceu na cidade de Perga, região da Panfília (atualmente Turquia) por volta de 262 a.C. e viveu, aproximadamente, até 190 a.C.
Apolônio foi do mesmo tempo de seu rival Arquimedes que viveu, aproximadamente, entre 287 a .C. e 212 a .C. e, juntamente com Euclides,formam a tríade considerada como sendo a dos maiores matemáticos gregos da antigüidade. Apolônio estudou com os discípulos de Euclides em Alexandria e foi astrônomo notável,muitos historiadores dizem que ,talvez ele, e não Euclides, mereceu dos antigos o adjetivo de "O grande Geômetra".Sua obra prima é Seções Cônicas composta por 8 volumes .
Os que vieram adiante de Apolônio no estudo das cônicas foram Manaecmo, Aristeu e o próprio Euclides. Nesse período, elas eram obtidas seccionando um cone circular reto de uma folha com um plano perpendicular a uma geratriz do cone, obtendo três tipos distintos de curvas, conforme a seção meridiana do cone fosse um ângulo agudo, um ângulo reto ou um ângulo obtuso.
Apolônio foi o matemático que mais estudou e desenvolveu as seções cônicas na antiguidade. Suas contribuições foram: ter conseguido gerar todas as cônicas de um único cone de duas folhas, simplesmente variando a inclinação do plano de interseção; ter introduzido os nomes elipse e hipérbole e ter estudado as retas tangentes e normais a uma cônica. a descoberta das equações cartesianas da reta e da circunferência, e as equações mais simples da elipse, da parábola e da hipérbole. Ele aplicou uma transformação equivalente à atual rotação de eixos para reduzir uma equação do 2º grau à sua forma mais simples.
A história de Apolônio de Perga
O primeiro estudo sistemático sobre as cônicas em geral deve-se ao Astrônomo e Matemático grego Apolônio de Perga. Nasceu em Perga na Ásia Menor, estudou na Alexandria na escola dos sucessores de Euclides. Pouco é sabido sobre a sua vida, no entanto o seu trabalho teve uma grande influência no desenvolvimento da Matemática em particular pela sua mais célebre obra "As Cônicas", composta por oito volumes. Esta obra constitui um estudo quase exaustivo das secções planas de um cone de revolução. É motivo de admiração a mestria com que Apolônio demonstra centenas de teoremas recorrendo apenas aos métodos puramente geométricos de Euclides.
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Foi chamado o "Pai das Cônicas" pois atribuiu às cônicas as designações ainda hoje utilizadas- elipse, parábola e hipérbole, apresentando-as como secções produzidas numa mesma superfície cônica, dependendo a natureza da cônica apenas da inclinação do plano secante relativamente às geratrizes da superfície cônica. Foi Apolônio que apresentou pela primeira vez muitas das propriedades das cônicas como por exemplo: Se um ramo de uma hipérbole intersecta os dois ramos de uma outra hipérbole, o ramo aposto da primeira hipérbole não encontrará nenhum dos ramos da segunda em dois pontos.
Apolônio foi contemporâneo de Arquimedes e considerado um dos mais originais e profundos matemáticos gregos, foi mesmo categorizado como o sexto homem da lista dos doze homens mais notáveis do seu tempo. A Matemática dos nossos dias deve-se em grande parte a Apolônio de Perga. Apolônio foi contemporâneo de Arquimedes e considerado um dos mais originais e profundos matemáticos gregos, foi mesmo categorizado como o sexto homem da lista dos doze homens mais notáveis do seu tempo. A Matemática dos nossos dias deve-se em grande parte a Apolônio de Perga, a descoberta das equações cartesianas da reta e da circunferência, e as equações mais simples da elipse, da parábola e da hipérbole. Ele aplicou uma transformação equivalente à atual rotação de eixos para reduzir uma equação do 2 grau à sua forma mais simples.
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DENOMINAÇÃO
Denomina-se cônica o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja razão entre as distâncias a um ponto fixo F e a uma reta fixa d é igual a uma constante não negativa e. O ponto fixo é chamado de foco, a reta fixa de diretriz e a razão constante de excentricidade da cônica. Quando e = 1 a cônica é chamada de parábola, quando 0 < e < 1 de elipse e quando e > 1 de hipérbole.
As cônicas - hipérbole, parábola e elipse - possuem todas elas, um aspecto singular: Podem ser obtidas através da interseção de um plano convenientemente escolhido com uma superfície cônica, conforme mostrado na figura a seguir:
Quando o plano intercepta todas as geratrizes do cone, a curva obtida é chamada ELIPSE. O CÍRCULO é um caso particular de elipse, quando o plano é perpendicular ao eixo de rotação do cone. Quando o plano é paralelo a uma das geratrizes do cone, a curva obtida é chamada PARÁBOLA. Quando o plano intercepta as duas folhas do cone, a curva obtida é chamada HIPÉRBOLE.
Casos degenerados: note que a interseção de um cone por um plano pode também ser uma reta, um par de retas concorrentes ou um ponto (basta que o plano passe pelo vértice do cone)
Vejamos, agora as particularidades de cada curva
Elipse
1 – Definição: Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se elipse, à curva plana cuja soma das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2 é igual a um valor constante 2a , onde a > c.
Assim é que temos por definição: PF1 + PF2 =2 a
Assim é que temos por definição: PF1 + PF2 =
Os pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2 é conhecida com distancia focal da elipse.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da elipse. Como, por definição,
a > c, podemos afirmar que a excentricidade de uma elipse é um número positivo menor que a unidade.
2 – Equação reduzida da elipse
Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e sejam F1(c,0) e F2(-c,0) os seus focos. Sendo 2.a o valor constante com c < a, como vimos acima, podemos escrever: PF1 + PF2 = 2.a
Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:
Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:
Observe que x – (-c) = x + c. Quadrando a expressão acima, vem:
Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a: b2.x2 + a2.y2 = a2.b2, onde b2 = a2 – c2
Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem finalmente:
Veja a figura abaixo, que é elucidativa:
NOTAS:
1 – o eixo A1A2 é denominado eixo maior da elipse.
1 – o eixo A1A2 é denominado eixo maior da elipse.
2 – o eixo B1B2 é denominado eixo menor da elipse.
3 – é válido que: a2 - b2 = c2, onde c é a abscissa de um dos focos da elipse.
4 – como a excentricidade e da elipse é dada por e = c/a , no caso extremo de termos b = a, a curva não será uma elipse e sim, uma circunferência, de excentricidade nula, uma vez que sendo b = a resulta c = 0 e, portanto e = c/a = 0/a = 0.
5 – o ponto (0,0) é o centro da elipse.
6 – se o eixo maior da elipse estiver no eixo dos y e o eixo menor estiver no eixo dos x, a equação da elipse passa a ser:
A construção da elipse pelo método da dobradura
Sobre uma folha de papel-manteiga marque um ponto F1 mais ou menos no centro da folha.
Com o auxílio do compasso, desenhe dois círculos centrados em F1 e de raios 2a (pelo menos 14 cm de raio) e 2c (c menor do que a ).
Trace uma semi-reta horizontal com origem em F1 e tome o ponto F2 interseção da semi-reta com o círculo de raio 2c.
Escolha um ponto D sobre o círculo de raio 2c e dobre o papel-manteiga de forma a fazer coincidir os pontos D e F2. A figura abaixo, ilustra a construção de uma dobra. Ela coincide com a reta t tangente à elipse.
Repita essa operação para diferentes escolhas do ponto D. Quando você tiver realizado esta operação um grande número de vezes poderá observar que as dobras parecem tangenciar uma curva.
O lugar geométrico dos pontos de tangência P quando D percorre o círculo é uma elipse (ver Proposição 5.2).
Um roteiro para simulação da dobradura da elipse usando o Cabri:
Construa dois segmentos de medidas 2a e 2c com 2a > 2c.
Construa uma reta r e um ponto F1 sobre r.
Utilizando a ferramenta compasso, construa dois círculos concêntricos de centro F1 com raios 2a e 2c.
Com a ferramenta ponto de interseção obtenha o ponto F2, ponto de interseção da reta r e o círculo de raio 2c.
Utilize a ferramenta ponto sobre objeto e tome um ponto D sobre o círculo de raio 2a.
Construa a mediatriz t do segmento DF2.
Construa a reta l passando por F1 e D.
Com a ferramenta ponto de interseção obtenha o ponto P, interseção de t e l.
A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos P quando D se move ao longo do círculo. Justifique!
Utilize a ferramenta rastro para selecionar a mediatriz t e, em seguida, faça o ponto D mover-se sobre o círculo.
Hipérbole
– Definição: Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se hipérbole, à curva plana cujo módulo da diferença das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2 é igual a um valor constante 2a , onde a < c.
Assim é que temos por definição: ½ PF1 - PF2 ½ =2 a
Assim é que temos por definição: ½ PF1 - PF2 ½ =
Os pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2 é conhecida com distancia focal da hipérbole.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da hipérbole. Como, por definição, a < c, concluímos que a excentricidade de uma hipérbole é um número positivo maior que a unidade.
A1A2 é denominado eixo real ou eixo transverso da hipérbole, enquanto que B1B2 é denominado eixo não transverso ou eixo conjugado da hipérbole. Observe na figura acima que é válida a relação:
c2 = a2 + b2
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da hipérbole. Como, por definição, a < c, concluímos que a excentricidade de uma hipérbole é um número positivo maior que a unidade.
A1A2 é denominado eixo real ou eixo transverso da hipérbole, enquanto que B1B2 é denominado eixo não transverso ou eixo conjugado da hipérbole. Observe na figura acima que é válida a relação:
c2 = a2 + b2
O ponto (0,0) é o centro da hipérbole.
2 – Equação reduzida da hipérbole Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hipérbole e sejam F1(c,0) e F2(-c,0) os seus focos. Sendo 2.a o valor constante com c > a, como vimos acima, podemos escrever: ½ PF1 - PF2 ½ = 2 a
Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:
Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a: b2.x2 - a2.y2 = a2.b2, onde b2 = c2 – a2 , conforme pode ser verificado na figura acima.
Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem finalmente:
Obs: se o eixo transverso ou eixo real (A1A2) da hipérbole estiver no eixo dos y e o eixo não transverso ou eixo conjugado (B1B2) estiver no eixo dos x, a equação da hipérbole passa a ser:
A construção da hipérbole via dobradura é muito semelhante à da elipse um roteiro para simular esta construção utilizando o Cabri é dado pelos seguintes procedimentos:
Construa dois segmentos de medidas 2a e 2c com 2a < 2c.
Construa uma reta r e um ponto F1 sobre r.
Utilizando a ferramenta compasso, construa dois círculos concêntricos de centro F1 com raios 2a e 2c.
Com a ferramenta ponto de interseção obtenha o ponto F2, ponto de interseção da reta r e o círculo de raio 2c.
Utilize a ferramenta ponto sobre objeto e tome um ponto D sobre o círculo de raio 2a.
Construa a mediatriz t do segmento DF2.
Construa a reta l passando por F1 e D.
Com a ferramenta ponto de interseção obtenha o ponto P, interseção de t e l.
A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos P quando D se move ao longo do círculo. Justifique!
Utilize a ferramenta rastro para selecionar a mediatriz t e, em seguida, faça o ponto D mover-se sobre o círculo.
Observando a simulação, descreva um procedimento para construir uma parábola através de dobradura de papel.
Parábola
- Definição Considere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F (foco) pertencente ao eixo das abscissas (eixo dos x), conforme figura abaixo:
Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que
PF = Pd onde: PF = distância entre os pontos P e F PP' = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz).
Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que
PF = Pd onde: PF = distância entre os pontos P e F PP' = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz).
Importante: Temos portanto, a seguinte relação notável: VF = p/2
3 - Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem
Observando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco da parábola, e P(x,y) - um ponto qualquer da parábola. Considerando-se a definição acima, deveremos ter: PF = PP'
Observando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco da parábola, e P(x,y) - um ponto qualquer da parábola. Considerando-se a definição acima, deveremos ter: PF = PP'
Daí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano:
Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima, chegaremos à equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem, a saber: y2 = 2px
onde p é a medida do parâmetro da parábola.
onde p é a medida do parâmetro da parábola.
3.1 - Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (x0, y0) Se o vértice da parábola não estiver na origem e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica: (y - y0)2 = 2p(x-x0)
3.2 - Parábola de eixo vertical e vértice na origem Não é difícil provar que, se a parábola tiver vértice na origem e eixo vertical, a sua equação reduzida será: x2 = 2py
3.3 - Parábola de eixo vertical e vértice no ponto (x0, y0) Analogamente, se o vértice da parábola não estiver na origem, e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica: (x - x0)2 = 2p(y - y0)
A construção da parábola pelo método da dobradura
Usando uma folha de papel-manteiga execute os seguintes procedimentos:
Desenhe uma reta horizontal d (diretriz da parábola), numa folha de papel-manteiga e marque, fora dessa reta, um ponto fixo F (foco da parábola).
Selecione um ponto D sobre a reta e dobre o papel-manteiga de forma a fazer coincidir os pontos D e F. A figura abaixo, ilustra a construção de uma dobra. Ela coincide com a reta t tangente à parábola). Repita essa operação para diferentes escolhas de pontos sobre a diretriz. Realizando esta operação um número suficiente de vezes, podemos observar que as dobras parecem tangenciar uma curva que é uma parábola. Uma maneira de simular esta construção no computador é utilizar o software Cabri Géomètre II. Um roteiro para esta simulação é:
Construa uma reta d e um ponto F fora da reta d.
Utilize a ferramenta ponto sobre objeto e tome um ponto D sobre a reta d.
Construa a mediatriz t do segmento DF.
Construa a perpendicular l à reta d, por D.
Com a ferramenta ponto de interseção, obtenha o ponto P, interseção de t e l.
A parábola é o lugar geométrico dos pontos P quando D se move ao longo da reta d. (ver Proposição 5.1);
Utilize a ferramenta rastro para selecionar a mediatriz t e, em seguida, use a ferramenta animação e faça o ponto D mover-se sobre a reta d. O rastro deixado pela reta t faz o papel das dobras!
Portanto este foi o meu estudo sobre as cônicas mostrei a historia das cônicas de onde surgiu quem criou as definições de cônicas (hipérbole,elipse e parábola),mostrei também as equações ,e como se constrói cônicas.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS
COMENTÁRIO: Este detalhamento do fluxo de trabalho deve ser revisitado várias vezes durante a iniciação e a elaboração inicial até a final. Deve buscar atingir o que foi sugerido como trabalho.
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