Sidicley Luiz dos santos 4º matemática (AEDAI- FAFOPAI)
Professora Eliana Nogueira
Geometria Analítica
RESUMO:
As curvas cônicas se originam de cortes por uma superfície plana em cones como o próprio nome já sugere. Essas curvas nem sempre tem o mesmo formato, isso vai depender da posição que se secciona o cone podendo gerar três tipos de curvas, a saber: hipérbole, parábola e elipse. Essas curvas estão presentes em diversas atividades diárias, em formas geométricas e até mesmo em alguns movimentos que executamos.
PALAVRAS-CHAVES: Curvas cônicas, parábola, elipse, hipérbole, ângulos, planos.
INTRODUÇÃO
Diante de análise sobre curvas cônicas o que se pode observar é que elas não foram criadas, elas sempre existiram e apenas foram formuladas teorias sobre suas formas e classificadas de acordo com o formato de cada uma e de como se originam. Essa classificação foi dada pelo matemático Apolônio em meados de 260 a 200 a.c. e se consolidou como uma área da geometria. O presente artigo tem como finalidade expor algumas explanações sobre curvas cônicas, suas origens, seus principais formuladores, seus conceitos, suas finalidades. Como entender melhor as curvas cônicas, como são geradas quais suas principais diferenças e/ou particularidades, onde estão inseridos seus conteúdos quais são as suas formas e nomenclatura dos tipos de curvas cônicas o que significam e/ou representam, onde as usamos, suas contribuições para os avanços da geometria e astronomia entre outras áreas que as utilizam.
1- ESTUDO DAS CURVAS CÔNICAS
A origem das curvas cônicas se deve ao matemático Menecmus por volta de 360 a.c. e um século depois teria inicio um estudo sistemático das curvas cônicas em meados de 260 a 200 a.C. com Apolônio. A partir daí vários outros matemáticos se sucederam numa sequencia que ao longo do tempo foram trabalhando esse tema durante 2000 anos e consequentemente fizeram outras descobertas no campo da geometria com base nas teorias de Apolônio.Não menos importante que Apolônio, matemáticos como: Arquimedes, Johann Bernoulli, Georg Cantor, Augustin Cauchy, René Descartes, Eratóstenes, Euclides, Leonhard Euler foram os principais responsáveis pelo desenvolvimento dos estudos das cônicas.
1.1- ONDE SE UTILIZAM CÔNICAS
Ao se tratar do estudo das cônicas, nota-se o seu importante papel nos vários domínios da Física, Astronomia, Engenharias e Arquitetura Contemporânea.
Ao esboçar um gráfico de função do segundo grau, nas construções das mais variadas formas de arquitetura, em desenhos geométricos, na física quando calculamos o percurso de um projétil levando em consideração a resistência do vento e a distancia percorridae em tantas outras atividades diárias as curvas cônicas estão presentes.
As superfícies refletoras dos telescópios são superfícies geradas pela rotação de curvas cônicas, também conhecidas como curvas naturais. Elas são as elipses, as parábolas e as hipérboles. Estas curvas são definidas como a intersecção de um cone por um plano que não passe pelo seu vértice. Para entender melhor as curvas cônicas é preciso entender como se geram e suas particularidades e isso se dá através de um estudo detalhado de cada uma delas. Apesar de elas estarem presentes no nosso dia-a-dia às vezes passam por despercebidas. As curvas cônicas dividem-se em hipérbole, parábola e elipse.
1.2 TIPOS DE CÔNICAS
1.2.1 HIPERBOLE
É a curva que se obtém ao cortar uma superfície cônica com um plano paralelo às duas geratrizes. A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cujas distâncias a dois pontos fixos (focos) desse plano têm diferença constante.
HIPÉRBOLE NO PLANO
Na hipérbole apesar de sua estrutura física se assemelhar com uma parábola sua definição se assemelha a da elipse. Na hipérbole seu eixo principal pode estar na horizontal ou na vertical, sendo que cada posição possui suas particularidades.
O módulo da diferença da distancia de qualquer ponto da curva para um ponto fixo em uma reta foco e a distância do mesmo ponto da curva para o outro ponto da reta (outro foco) é sempre constante e vale 2ª, | PF1 – PF2 | = 2a.
V1, V2, B1 e B2 são os vértices
F1 e F2 são os focos
F1F2 é a distância focal = 2c
V1V2 é o eixo real = 2a
B1B2 é o eixo imaginário = 2b
Centro: C(h,k)
F1(h – c,k) e F2(h + c,k)
V1(h – a,k) e V2(h + a,k)
B1(h,k + b) e B2(h,k – b)
Numa hipérbole sempre vale a relação: c2 = a2 + b2.
as assíntotas são representadas por retas tracejadas e seus coeficientes angulares dependem da posição do eixo real. Se o eixo real estiver na horizontal seu coeficiente angular é determinado por m = ± b / a, mas se estiver na vertical e determinado por m = ± a / b.
Para cada posição do eixo principal da equação da hipérbole há uma equação.
Na horizontal é:
Na vertical é:
Existe uma excentricidade tanto na elipso quanto na hipérbole que é a razão entre uma ponta qualquer da curva a uma reta fixa que é representada pala letra e que é dado por: e = c / a.
No caso da hipérbole e >1, pois, a < c.
No caso da elipse e < 1, pois, a > c.
Caso essa excentricidade seja igual a 1, e = 1, temos então uma parábola.
1.2.2 PARÁBOLA
É a curva que se obtém ao cortar uma superfície cônica com um plano paralelo a sua geratriz. A parábola é o lugar geométrico dos pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma reta fixa (diretriz). A parábola é a curva mais popular das cônicas e é conhecida de todos os estudantes de física, por ser muito usada no estudo dos fenômenos de queda dos corpos.
A parábola pode assumir formas em sentidos diferentes, para isso depende do eixo de simetria que é o eixo principal da parábola, o eixo q contem o foco ou centro da parábola.
Se esse eixo for na vertical a parábola pode ser voltada para cima ou para baixo ao passo que se for na horizontal a parábola assume as formas com a concavidade voltadas para esquerda ou para direita. Para cada direção que a concavidade da parábola se volta tem uma equação que a define.
Concavidade voltada para esquerda é: (y – k)2 = –4p(x – h)
Concavidade voltada para a direita é: (y – k)2 = 4p(x – h)
Concavidade voltada para cima é: (x – h)2 = 4p(y – k)
Concavidade voltada para baixo é: (x – h)2 = –4p(y – k)
PARÁBOLA NO PLANO
1.2.3 ELIPSE
É a curva que se obtém ao cortar uma superfície cônica com um plano que não é paralelo a nenhuma das geratrizes. A elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cujas distâncias a dois pontos fixos (focos) desse plano têm soma constante. A elipse é conhecida do todo astrônomo. É a base de quase todas as órbitas de corpos celestese o corpo mais massivo ocupa sempre um dos focos.
ELIPSE NO PLANO
F1 e F2 são os focos
A1, A2, B1 e B2 são os vértices
A1A2 é o eixo maior = 2a
B1B2 é o eixo menor = 2b
F1F2 é a distância focal = 2c
Centro: C(h,k)
F1(h – c,k) e F2(h + c,k)
A1(h – a,k) e A2(h + a,k)
B1(h,k + b) e B2(h,k – b)
Numa elipse qualquer sempre vale a relação a² = b² + c².
A elipse tem a forma oval e lembra um pouco a circunferência, essa forma oval da elipse pode se apresentar de duas formas e para cada uma delas também tem uma equação que as define.
Numa elipse o centro é C(h,k) e se o eixo principal (eixo maior) estiver na horizontal a equação que a define é:
Devemos estar atentos aos eixos principais de uma hipérbole, pois quando ele for na vertical todos os dados dos pontos são invertidos inclusive a equação que a define exceto os do centro que permanecem C(h,k), por exemplo: os focos são F1(h,k – c) e F2(h,k + c); e os vértices A1(h,k – a) e A2(h,k + a) e B1(h – b,k) e B2(h + b,k). A equação passa a ter o eixo maior paralelo ao eixo do y e, portanto a equação será dada por:
CONCLUSÃO:
Com isso podemos concluir que mesmo as curvas cônicas sendo aparentemente idênticas, elas têm suas particularidades até mesmo em suas utilidades. O que se percebe é que qualquer uma das curvas classificadas, hipérbole, parábola ou elipse, podem assumir formas diferentes dependendo da posição que são seccionadas, com vértices mais ou menos acentuados, a serem calculados através de suas formulas. Uma vez descobertas as curvas cônicas são indispensáveis no desempenho de várias atividades como engenharia, física, astronomia e em outras atividades diárias mesmo que passem por despercebido.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS:
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