CÔNICAS: EVOLUÇÃO E APLICAÇÕES
Jefferson Renan Xavier de Lima Freitas
Autarquia Educacional de Afogados da Ingazeira - AEDAI
Faculdade de Formação de Professores de Af. Da Ingazeira –(FAFOPAI)
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RESUMO
Neste trabalho, realizou-se uma pesquisa de forma a se estabelecer alguns tópicos sobre as cônicas a fim de se saber como surgiu, quando ela foi criada, quem foram os matemáticos que contribuíram para o seu surgimento e evolução, os tipos de curvas, a contribuição dos estudos de Apolônio em teorias formuladas por outros matemáticos, e onde podemos encontrar exemplos de cônicas no nosso dia-a-dia.
PALAVRAS-CHAVE
Apolônio, elipse, parábola, hipérbole, cônicas.
INTRODUÇÃO
"Muitas pessoas consideram ser desconcertante o fato dos matemáticos investigarem a fundo um problema ou uma idéia, simplesmente porque a acham interessante ou curiosa. Remontando aos pensadores da Grécia Antiga, encontramo-los a estudarem com afinco idéias, independentemente da sua utilidade imediata, mas tão só por serem excitantes, desafiadoras ou interessantes. Foi o que aconteceu com o estudo que fizeram das secções cônicas"(in Fascínios da Matemática, 1995)
Sabendo-se que os estudos matemáticos, após serem divulgados são avaliados por muitos matemáticos, ou seja, devido a enorme quantidade de profissionais envolvidos com a idéia proposta, consequentemente esta idéia sofrerá alguma alteração devido a não concordância de pensamentos ou até um propósito de ampliar,desenvolver aquela idéia, possibilitando assim uma reformulação de uma teoria que convença. E assim através dessas contribuições a obra ganha conhecimento, e foi neste contexto que surgiram as cônicas, que tem uma incrível história, onde ganhou repercussão pela grande importância desde o seu inicio até os dias de hoje, onde podemos encontrar suas inúmeras contribuições e benefícios que ela nos trouxe, em relação a estudos científicos, teorias, teoremas, avanços tecnológicos, etc.
SURGIMENTO E EVOLUÇÃO
Vários matemáticos contribuíram para o surgimento e evolução da cônicas, mas alguns estudos ganharam mais repercussão em relação a elas, e estes estudos serão os mostrados aqui nesta obra.
No inicio as cônicas foram estudadas e avaliadas por três matemáticos onde dois deles junto a Apolônio de Perga, são considerados os maiores matemáticos da antiguidade grega, e eles são Euclides (325 – 265 a.C.) e Arquimedes (262 – 190 a.C) o outro matemático foi Menaecmus (380 – 320 a.C.) que nesta época estava tentando resolver os três problemas clássicos mais desejados da antiguidade grega (duplicação do cubo, trissecção do ângulo, e quadratura do circulo). Com o estudo das cônicas e suas seções, ele descobriu a elipse, através de pesquisas realizadas em relação a parábola e hipérbole, que ofereciam as propriedades necessárias para a solução da duplicação do cubo, desta forma com este estudo Menaecmus percebeu que a parábola é obtida através do corte realizado em um cone reto por um plano perpendicular à geratriz, e para se obter a hipérbole, cortava-se um cone obtusângulo por uma plano perpendicular à geratriz, ainda possuía conhecimento sobre as equações das curvas conforme sua secção que eram três:
Cone circular retângulo:
, http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia//conicas.html
Cone acutângulo:
, http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia//conicas.html
Cone obtusângulo:
, http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia//conicas.html
Arquimedes, por sua vez deu sua contribuição para as cônicas quando determinou a área do segmento parabólico, pois provou que a área da figura formada por um arco de parábola e um segmento de reta é igual a 4/3 da área de um triângulo cuja base seja o mesmo segmento e cujo terceiro vértice seja a intersecção de uma tangente à parábola que seja paralela ao segmento dado, e por fim Euclides, dentre suas principais obras, deixou o tratado sobre as cônicas, que apesar de seus trabalhos terem contribuído para a construção dos três primeiros volumes da obra “A s cônicas” de Apolônio de Perga, logo perdeu seu reconhecimento, pois depois veio a obra de maior relevância, uma teoria com nível relativamente avançado em relação a dos outros matemáticos sobre as cônicas, escrita por Apolônio de Perga (262 – 190 a.C.), que foi “As cônicas”, uma obra composta por oito volumes, sendo que da obra original, sete volumes sobreviveram e o oitavo volume se perdeu, com quatro escritos em grego e três traduzidos para a língua árabe, por Thabit Ibn Qurra (826 – 901) no século IX, posteriormente em 1.710, Edmund Halley traduziu os volumes para o latim e depois para a linguagem moderna. Diante desta obra, em seu prefácio Apolônio revelou as razões que o levaram a escrevê-la: “... levei a cabo a investigação deste assunto a pedido de neucrates o geômetra, quando ele veio a Alexandria e ficou comigo, e, quando tinha trabalhado os oito livros, dei-los de imediato, apressadamente, porque ele estava de partida; não foi possível portanto revê-los. Escrevi tudo conforme me ia ocorrendo, adiando a revisão até o fim.” (In, Thomas Heath, A history of Greek Mathematics, volume II, p.129).
Ainda houve outras grandes atribuições para as cônicas por parte de Apolônio, pois antes dele a elipse, parábola e a hipérbole eram obtidas como seções de três tipos diferentes de cone circular reto, de acordo com o ângulo do vértice, podendo ser agudo, reto ou obtuso. Após seus estudos mostrou que não seria preciso tomar seções perpendiculares a um elemento do cone e que em apenas um único cone poderiam ser obtidas as três seções, através de uma variação em relação à inclinação do plano, fazendo com que haja uma relação de uma curva com a outra.
http://www.nilsonjosemachado.net/sema20100914.pdf
provou ainda que o cone pode ser reto ou obliquo, mostrou que as propriedades das curvas independem de como o cone seja, e colocou os nomes das curvas elipse, parábola, e hipérbole, que já havia sido conhecido através dos estudos pitagóricos que referiam-se ao descobrimento de áreas.
Outros importantes nomes passaram pelas cônicas como Galileu, Kepler, Desargues, Fermat, Pascal, Halley.
UM POUCO SOBRE ELIPSE, PARÁBOLA E HIPÉRBOLE
Foi dito antes que Apolônio introduziu nomes as curvas, estes nomes foram tomados dos pitagóricos onde o termo elipse era usado quando um retângulo de área dada era aplicado a um segmento que lhe faltava um quadrado; o termo hipérbole era usado quando a área excedia o segmento; o termo parábola era usado quando não havia excesso nem falta. É possivel observamos que o motivo destes nomes está na própria significação dos termos, pois elipse quer dizer falta, parábola corresponde a igual e hipérbole exprime excesso.
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Elipse: É obtida quando uma superfície cônica é cortada com um plano que não passe pela base e que não intercepte as duas folhas do cone, esta intersecção será a elipse.
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Parábola: É uma seção cônica gerada pela intersecção de uma superfície cônica de segundo grau e um plano paralelo a uma linha geradora do cone, intitulada por geratriz.
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Hipérbole: é um tipo de seção cônica definida como a interseção entre uma superfície cônica circular regular e um plano que passa através das duas metades do cone.
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INFLUÊNCIA DOS ESTUDOS DE APOLÔNIO
Os grandiosos resultados dos estudos de Apolônio também resultaram na influência em outras obras, como por exemplo as de Ptolomeu, astrônomo e geógrafo que tem em seu currículo duas excelentes obras que são almagesto (astronomia) e geografia (8 volumes), Ptolomeu utilizou-se do sistema latitude e longitude, algo que é muito utilizado nos dias de hoje em cartografia, este estudo foi influenciado pela Teorema de Apolônio, que prega que todo cone obliquo tem duas famílias de seções circulares. Outros grandes matemáticos que se utilizaram de alguns conhecimentos de Apolônio, foram Kepler quando realizava aplicações referentes a óptica e a construção de espelhos parabólicos, Galileu deduziu em uma de suas obras que “desprezando a resistência do ar, a trajetória de um projétil é uma parábola”, Newton, com o uso da matemática pura de Apolônio formulou “Principia”, contribuiu na Lei da Gravitação quee mas tarde no século XVII, possibilitou o estudo analítico das cônicas de acordo com os movimentos no espaço, onde foi possível aos cientistas a oportunidade de poderem executar a viagem para a lua com sucesso, essas são apenas algumas contribuições que Apolônio, através de uma incansável e espetacular rotina de estudos, pesquisas, relatos , pôde deixar para a matemática, para o mundo e sua população.
CÔNICAS E SUAS APLICAÇÕES DURANTE DUA HISTÓRIA ATÉ OS DIAS DE HOJE
As cônicas possuem uma grande importância em relação aos benefícios trazidos pela tecnologia, engenharia, arquitetura, economia, astronomia entre outros fatores, que fazem com que os seres humanos usufruam dos avanços. Engenheiros que são da área de iluminação, utilizam-se das seções cônicas quando, por exemplo, direcionam um feixe de luz emitido pela lanterna na parede, dependendo da declividade da lanterna, a figura na parede pode ser uma circunferência, elipse, parábola, ou uma hipérbole. A audiometria na intenção de se calcular a que distância da terra o avião pode ultrapassar a velocidade do som, na astronomia Kepler mostrou que os planetas descrevem órbitas elípticas, onde possui o sol num dos focos, os satélites artificiais para o espaço percorrem trajetórias elípticas, sabe-se também que alguns cometas que possuem trajetórias hiperbólicas, ao passarem perto de planetas com grande densidade, sofrem alteração formando outra hipérbole com um dos focos neste planeta.
Fazendo uso da propriedade refletora da parábola, Arquimedes construiu espelhos parabólicos, os quais por refletirem a luz solar para um só ponto, foram usados para incendiar os barcos romanos acuando as invasões de Siracusa.
As propriedades refletoras das cônicas têm contribuição no que diz respeito à construção de antenas, telescópios, radares, faróis, óculos, microscópios, lupas, entre outros. Na engenharia, se imaginar onde podemos encontrar as cônicas, será muito fácil percebe-la em pontes, igrejas, estádios de futebol, torres, etc. Ela também faz parte do sistema LORAN, utilizado para localização de barcos, navios, onde se faz uso de hipérboles confocais, onde os radares estão nos focos, a idéia é baseada na diferença de tempo de recepção dos sinais emitidos simultaneamente pelos dois pares de radares, sendo um dos radares comum aos dois pares. O mapa assim construído apresenta curvas hiperbólicas, técnica utilizada na Segunda Guerra Mundial, para localização dos barcos japoneses, podemos encontrá-la na tecnologia atual, onde através de um satélite que está localizado no espaço, pode-se assistir imagens ao vivo na televisão, este sistema consiste em localizar e consertar o rasto de um satélite de comunicação no espaço, utilizando-se para isso antenas muito potentes e exatas, algumas delas com a forma de parabolóide. Estas antenas são as que vemos em cima dos telhados das casas, prédios, estas que para sua construção deve-se haver um conhecimento sobre algumas teorias.
CONCLUSÃO
Como foi possível observar nesta obra, as cônicas foi um estudo muito bem planejado onde vários matemáticos procuraram dar sua definição, inúmeros estudos e pesquisas foram realizados e com certeza deixaram sua marca na história da matemática, e de vários outros estudos.
E os beneficiados de toda esta excelente história são os seres humanos, que foram beneficiados pelos avanços em várias áreas, deixando o mundo mais acessível, um pouco mais fácil de desenvolver-se com grandes descobertas.
Este foi meu interesse em desenvolver esta obra, mostrar que uma teoria, que é mal vista no ensino fundamental e médio, possui uma riqueza histórica e que poderia ser muito mais cultivada na escola.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS:
BOYER, Carl B., História da Matemática. Edgar Bluncher Ltda, São Paulo, 1996.
EVES, Howard, Introdução à história da matemática. Campinas, Editora da Unicamp, 1995.
POLCINO, César M. & BUSSAB, José Hugo O., A geometria na antiguidade clássica. FTD, São Paulo, 1999.
Ministério da Educação - SEB, Coleção explorando o ensino. Matemática – Ensino Médio. Volume 3. Brasília, 2004
ANDRADE, L. N A construção de cônicas e o teorema de Pascal. RPM 45
BACHELARD G. A formação do espírito científico . Rio de Janeiro, 1996.
MACHADO N. Geometria Analítica, Ed. Scipione, São Paulo, 1988
MARKUCHEVITCHA . I. Curvas Notáveis, Ed. MIR, 1997
PUTNOKIJ. C.Desenho Geométrico V. 2 Ed. Scipione, São Paulo, 1989
LINKS:
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm26/aplicacoes.htm
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm33/historia.htm
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm26/brevehistoria.htm
http://matematicalife.blogspot.com/2010/03/como-quando-e-por-que-surgiram-as.html
http://www.nilsonjosemachado.net/sema20100914.pdf
http://www.sato.prof.ufu.br/Conicas/Curso_ConicasAplicacoes.pdf
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