Cláudia Jane Lima Queiroz
Faculdade de formação de professores
Curso: Matemática - 4º período
Professora: Eliana Nogueira
RESUMO:
A finalidade deste trabalho é apresentar elementos que constituem os aspectos das cônicas bem como os aspectos históricos e a importância das cônicas no nosso cotidiano para uma compreensão diferente de como se desenvolvem as idéias matemáticas.
ABSTRACT:
The purpose of this paper is to introduce elements that constitute aspects of conic sections as well as the historical aspects and the importance of conic sections in our daily life to a different understanding of how to develop mathematical ideas
As cônicas foram estudadas por, Menecmo, Euclides e Arquimedes. Menecmo descobriu a elipse pesquisando sobre a parábola e a hipérbole, pois ofereciam as propriedades necessárias para a solução da duplicação do cubo. Também era do seu conhecimento as equações das curvas conforme a sua secção: quando formada por secção de um cone circular retângulo era (uma constante), quando secção de cone acutângulo e quando secção de cone obtusângulo. O tratado sobre as cônicas estava entre algumas das mais importantes obras de Euclides, porem se perdeu pelo fato do trabalho escrito por Apolônio ser mais extenso. A obra do nível mis avançado foi precisamente àquela feita por Apolônio de Perga que substituiu qualquer estudo anterior. O tratado sobre as cônicas certamente foi uma obra-prima de Apolônio e teve grande influência no desenvolvimento da matemática. Devido fundamentalmente a este estudo sobre as cônicas ele era conhecido como o “Geômetra Magno”.
ORIGEM:
Do grego-Konikós (que tem a forma de cone). As curvas são obtidas pela interseção de um plano com um cone circular reto de duas folhas pode obter: um ponto, uma reta, um par de retas ou as curvas cônicas: circunferência, elipse, parábolas e hipérbole.
Imagem da circunferência e elipse
E a elipse é uma curva plana fechada que se obtém quando da interseção de um cone circular reto com um plano oblíquo à sua base. O ângulo do plano é menor que o ângulo que a geratriz forma com a base.
Assim é o lugar geométrico dos pontos de um plano, cujas distâncias a dois pontos fixos desse plano (focos) têm uma soma constante e igual ao seu eixo maior.
A parábola é uma curva plana aberta que se obtém quando da interseção de um cone circular reto com um plano paralelo à sua geratriz. É uma curva plana aberta, cujos pontos distam igualmente de um ponto fixo (foco) e de uma reta fixa (diretriz).
A hipérbole se apresenta como uma curva plana aberta, com dois ramos, que se obtêm quando da interseção de um cone circular reto com um plano oblíquo ou perpendicular á sua base. O ângulo do plano é maior que o ângulo que a geratriz forma com a base.
A parábola é uma curva plana aberta que se obtém quando da interseção de um cone circular reto com um plano paralelo à sua geratriz. É uma curva plana aberta, cujos pontos distam igualmente de um ponto fixo (foco) e de uma reta fixa (diretriz).
A hipérbole se apresenta como uma curva plana aberta, com dois ramos, que se obtêm quando da interseção de um cone circular reto com um plano oblíquo ou perpendicular á sua base. O ângulo do plano é maior que o ângulo que a geratriz forma com a base.
Imagem da hipérbole
As secções cônicas têm muita prática no nosso cotidiano:
Os planetas giram em torno do sol numa trajetória cuja forma é uma elipse
Aplicações das secções cônicas foram estudadas diversos assuntos, entre elas tangência, concordância e curvas cônicas. O estudo desses assuntos torna-se mais importante quando se procura analisar as suas aplicações dentro de um contexto histórico cultural observando a evolução da ciência, artes e arquitetura através dos tempos. Os arcos são exemplos de importante aplicação da geometria nas artes e arquitetura da antiguidade. Os arcos tiveram suas formas modificadas e aperfeiçoadas através dos tempos, conforme a disponibilidade de materiais e as necessidades do construtor em obter a melhor solução estrutural e estética para o edifício. Ao se tratar do estudo das cônicas, notou-se o seu importante papel nos vários domínios da Física, Astronomia, Engenharias e Arquiteturas contemporâneas. Este trabalho tem por objetivo apresentar e explanar algumas dessas aplicações observando a relevância do estudo das cônicas dentro da matemática.
As cônicas na Engenharia e Arquitetura:
Em engenharia e arquitetura como no caso das pontes, pórticos, cúpulas, torres e arcos, usam-se as cônicas devido às suas propriedades físicas e até mesmo estéticas. Um exemplo é o cabo de suspensão de uma ponte, quando o peso total é uniforme distribuído segundo o eixo horizontal da ponte, toma forma de uma parábola, como se pode ver na figura.
Ponte suspensa
Outro exemplo é a planta do Coliseu em Roma, como se pode ver na figura.
Coliseu de Roma
Na representação Arquitetônica nada melhor do que Oscar Niemeyer, arquiteto famoso, principalmente, pelas curvas impostas a edificações de arquitetura singular em Brasília e pelas formas revolucionárias de seu estilo arquitetônicas.
Catedral de Brasília
Na astronomia, a descoberta do cometa Halley é paradigmática. Em 1704 Edmund Halley estudou as órbitas de vários cometas, para as quais existiam dados. Concluiu que os cometas de 1682, 1607, 1531 e 1456 eram afinal um único cometa que descrevia uma órbita elíptica à volta do sol com um período de cerca de 76 anos. Fez a previsão correta de seu retorno em 1758, o que fez que o cometa ficasse conhecido pelo seu nome.
Investigações recentes sugerem que os chineses tivessem registrado este cometa em cerca de 240 a.c... Mesmo depois de Copérnico, que no século XVI formulou a teoria heliocêntrica, se acreditava que o “Movimento natural” era o movimento circular e, por isso, os planetas deveriam seguir esse tipo de trajetórias à volta do sol. Foi o astrônomo e matemático alemão Johannes Kepler, em 1969, que descobriu que “cada planeta descreve uma elipse de que o sol ocupa um dos focos” (1 primeira lei de Kepler). O interesse de Kepler pelas cônicas surgiu devido às suas aplicações à óptica e a construção de espelhos parabólicos.
Órbita dos planetas
As cônicas na ótica e acústica:
A parábola ao rodar em torno do seu eixo de simetria gera uma superfície parabólica ou parabolóide.
Queremos deixar claro que as figuras acima de parabolóides de revolução lembram antenas parabólicas, mas não são antenas parabólicas e as usamos para fins didáticos apenas.
As propriedades refletoras são geradas por cônicas, parabolóides, hiperbolóides e elipsóides; estas são usadas, por exemplo, nos espelhos e antenas parabólicas ou para criar condições acústicas especiais em auditórios, teatros, catedrais, como acontece na catedral de São Paulo (Londres) esquematizada na figura (parabolóide de revolução). As propriedades da parábola e do parabolóide resultam do interesse dos espelhos parabólicos: (a) como receptor-todo o raio luminoso que incide num espelho parabólico, paralelamente ao eixo, reflete-se passando pelo foco e (b) como emissor-reciprocamente, todo o raio luminoso que incide no espelho parabólico passando pelo foco reflete-se paralelamente ao eixo.
Espelhos parabólicos utilizados em usinas solares
Espelhos parabólicos uma fonte luminosa no foco produz um feixe de raios paralelos, com um maior alcance. Pode-se usar para emitir feixes de ondas de radio ou de outra natureza. A primeira destas propriedades justifica o funcionamento dos espelhos parabólicos, dos fornos solares, das antenas parabólicas que captam ondas de radio, de radar ou de outras ondas eletromagnéticas, como as antenas de TVou a dos enormes rádios telescópios. Conta-se que Arquimedes, durante o cerco de Siracusa, conseguiu incendiar naves romanas usando uns misteriosos espelhos, chamados “ustórios” que enchiam de pavor os sitiantes e os punham em fuga. Arquimedes já conhecendo as propriedades das cônicas.
As cônicas na tecnologia atual:
Hoje, quando ligamos a televisão podemos ver imagem “ao vivo” proveniente dos mais remotos lugares do mundo. Para nós isto é natural, mas há 25 anos atrás isto era impossível. De fato, só depois dos americanos terem lançado e colocado em orbita um satélite de comunicação, chamado Telstar, as imagens de televisão provenientes de países alem oceano atlântico se tornaram possíveis de serem vistas aqui no Brasil “ao vivo”. Depois deste primeiro satélite, muitos outros se seguiram, permitindo que os técnicos de comunicação emitissem ou recebessem sinais de televisão ou radio, passando por estes satélites.
Elementos da elipse:
Focos;
Distancia focal;
Eixo maior;
Comprimento do eixo maior;
Eixo menor;
Comprimento do eixo menor;
Centro.
Elementos da parábola:
Foco (ponto fixo);
Reta diretriz (reta fixa);
Parâmetro;
Eixo de simetria;
Vértice.
REFERÊNCIAS
COMENTÁRIO: O importante é que a atividade de produção torne-se um exercício de qualidade, que garanta a formação de bons textos. Ou seja, os trabalhos acadêmicos não devem ser entendidos apenas como instrumento para se conquistar uma nota, mas como parte fundamental no aprendizado de determinada disciplina e na sua contribuição intelectual.
Gostei,, está bem explicado e ao mesmo tempo fácil de se entenderrr!!!
ResponderExcluirXerooo