DISCIPLINA GEOMETRIA ANALÍTICA II
ANTONIO DE PADUA SOUZA
PROFESSORA ELIANA NOGUEIRA
4º PERIODO DO CURSO DE MATEMÁTICA
AS CONICAS ONTEM E HOJE
RESUMO: Neste trabalho focalizamos o estudo das secções cônicas: elipse, parábola e hipérbole, os contribuidores e suas obras primas, as cônicas no ensino médio, as equações cônicas, aplicabilidade das cônicas na produção industrial, no comercio, na produção de antenas parabólicas e satélites, na construção civil, na ótica e no estudo dos movimentos dos corpos.
As secções cônicas são curvas obtidas pela intersecção de um cone de duas folhas:
- A parábola é a curva que se obtém ao cortar uma superfície cônica com plano paralelo a sua geratriz.
- A elipse é a curva que se obtém ao cortar uma superfície cônica com plano que não é paralelo a nenhuma das geratrizes.
- A hipérbole é a curva cônica que se obtém ao cortar uma superfície cônica com um plano paralelo as duas geratrizes.
A ORIGEM DAS SECÇÕES CONICAS
Deve-se ao matemático Apolônio de Perga que realizou estudos e conseguiu definir numa só peça três tipos de curvas diferentes a partir de um cone de duas folhas nomeando-as elipse, parábola e hipérbole. Diante disso, Apolônio de Perga foi considerado “o grande geômetra” viveu de 262 – 190 a .C. contemporâneo e rival de Arquimedes estudou com os discípulos de Euclides em Alexandria.
Apolônio foi astrônomo, através de seus estudos profundos se tornou reconhecido dentre os grandes matemáticos originais da época, sua principal obra prima foi as cônicas compostas por 8 livros, desses sobreviveram 7 livros sendo 4 traduzidos em grego e 3 em árabes.
No estudo das cônicas os precursores de Apolônio foram Manaecma, Aristeu e o próprio Euclides, eles seccionavam um cone círculos reto de uma só folha e com um plano perpendicular a geratriz desse cone obtiveram três tipos de curvas dependendo do ângulo: reto agudo ou obtuso do vértice desse cone.
Nesse estudo os recursos utilizados por Apolônio e o matemático e filosofo francês René Descartes em 1637, foi o primeiro a usar a geometria na álgebra, foi o primeiro a sistematizar e classificar as curvas e separando “curvas geométricas” que podem ser expressas com exatidão a traves de uma equação.
Seguindo com um pouco mais de história Leonardo Euler 1727 recebeu um premio da academia de ciências de Paris pela melhor tese na construção de navios. Assim, em 1735 Euler teve sua obra magistral a mecânica, a exposta analítica que foram relacionadas com geometria analítica, as analises infinitesimais e as matemáticas aplicadas a física. Em 1744 Euler publicou a sua obra clássica falando sobre astronomia e o movimento dos planetas e dos cometas, também concluiu sua obra prima instituindo o calculo integral.
Kepler 1609 apresentou a principal lei da astronomia, os planetas descrevem órbitas em torno do sol, e o sol como um foco cuja palavra de sua autoria significa fogo.
Galileu em 1632 apresentou sua obra “desprezando a resistência do ar” na qual um projeto vertical ou horizontal descreve uma trajetória parabólica.
As obras de Apolônio e as descobertas empíricas de Kepler deram condições para Isaac Newton no século XVII formular matematicamente estudo analítico das cônicas e os movimentos no espaço, estes estudos deu condições para mais tarde cientistas poderem ir à lua e volta com sucesso.
Pierre de Fermat (1601-1665), este descobriu as equações cartesianas da reta e da circunferência e simplificou as equações cônicas, ele rotacionou os eixos para reduzir as equações do 2º grau de forma mais simples.
CONICAS E SUAS APLICAÇÕES
PROPRIEDADES REFLETORAS DAS CÔNICAS E SUAS APLICAÇÕES
Na física clássica os raios de luz e as ondas sonoras propagam-se no espaço em linha reta e radiante a partir de sua fonte. Partindo de um ponto muito distante chamado de ponte para seu destino, essas ondas chegam como um feixe de raios paralelos, como é o caso das ondas de radio, ou das luminosidades dos corpos celestes.
Assim, a superfície refletora elípticas reflete para o outro “foco” essa propriedade é usada na construção de refletores odontológicos aparelhos de emissão de certos raios usados na medicina ou nas salas de sussurros. Os refletores de dentistas usam refletores elípticos que tem como objetivo concentrar o máximo de luz onde se deseja trabalhar. Sendo assim, o aparelho de radioterapia no tratamento médico emite raio cujo objetivo é destruir tecidos doentes sem afetar os sadios. Assim utiliza-se de aparelhos elípticos que concentram o raio de luz num determinado ponto com precisão.
Nas construções de teatros, catedrais e auditórios utilizam-se de formato elipsóide nas cúpulas dando condições acústicas especiais, como na catedral de São Paulo – Londres, e no edifício do capitólio em washington.
SUPERFICIES REFLETORAS PARABÓLICAS
Encontramos este artifício nas antenas parabólicas com uma onda de radio, seu eixo reflete na direção do foco que gira uma superfície parabólica, que captam sinais no espaço em formato parabólico em um único ponto e tratadas com o fim o que se destina.
Temos a aplicação dos espelhos parabólicos na recepção de luz solar, neste os raios penetram paralelamente no espelho e refletem-se e se concentram no foco.
Por outro lado percebemos a emissão de luz que partem do foco de um holofote ou de um farol de um automóvel refletindo no espelho parabólico e direcionador paralelamente a sua geratriz.
SUPERFICIE REFLETORA HIPERBÓLICAS
Os espelhos hiperbólicos estão presentes nas construções de telescópicos, em sistema de navegação e centrais de usina atômica.
Nos artigos hiperbólicos, um raio de luz irradiado de uma fonte A, incide segundo uma reta no espelho hiperbólico e refletindo numa direção, passando pelo foco da outra folha hiperbólica.
Alguns telescópicos denominados refletores usam um espelho hiperbólicos secundário, além do refletor principal, para redirecionar a luz do foco principal para um ponto mais conveniente. (www.sato.prof.ufu.br/conicas/node16).
AS APLICAÇÕES DAS CÔNICAS
As cônicas na engenharia e na arquitetura. Percebemos a aplicação de arcos cônicos na arquitetura e na engenharia; estão presentes por toda parte nas pontes e viadutos, nas praças, nas pistas, nas pistas de skate, na construção naval, na construção de antenas parabólicas e satélites, nas centrais de usinas anatômicas, na captação e emissão de luz, na produção de refletores, etc.
Dessa forma e a tecnologia e as cônicas que após o lançamento do satélite, testar no espaço para transmissão de imagens de televisão transatlântico, em seguida logo muitos outros foram lançados em órbita, assim possibilitou que técnicos de comunicação, tivessem condições para emitir e transmitir sons e imagens para receptores de antenas parabólicas e imagem do globo terrestre.
Assim, as cônicas no ensino médio como a parábola certamente é a cônica mais trabalhada no ensino médio, e muitas vezes a única também, ocorre nesse nível estudos da equação Y= ax²+bx+c, que simplesmente afirma que o gráfico é uma curva denominada parábola, valorizando apenas seus vértices e suas ordens crescente ou decrescente, relacionando-as a solução de problemas envolvendo áreas, produção, crescimento e lançamento de objeto.
A partir das grandes contribuições de Apolônio, Kepler, Newton e outros importantes matemáticos da antiguidade sobre as cônicas e suas secções, temos hoje inúmeras aplicações: na construção cientifica, tecnológica, na engenharia e arquitetura, na medicina, na administração de empresas, no comercio na solução de problemas. As cônicas não só fazem parte desse mundo mais o transforma constantemente.
CONCLUSÃO:
BIBLIOGRAFIA
Ø MUNEN, M.A e FOULIS DJ cálculo Guanabara 1982.
Ø LEITHOLD, Lovis o cálculo com geometria analítica.
Ø NOGUEIRA, Eliana apost. Fafopai – dezembro 2010
Ø BARROS, J. Geometria analítica.
Ø IMENES e LELLIS 1ª edição São Paulo 2009, editora moderna.
Ø DANTE, Luiz Roberto. Matemática volume único 1ª edição São Paulo: ártica, 2005.
Ø H.B. PHILLIPS cálculos e geometria analítica ao livro técnico LTDA RJ- 1958.
COMENTÁRIO: A avaliação em contexto de artigo: se materializou como estudo empírico sobre as cônicas com desempenho que precisa de mais esforço.
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