FACULDADE DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE
AFOGADOSDA INGAZEIRA-FAFOPAI
DISCIPLINA: GEOMETRIA ANALÍTICA
PROFESSORA: ELIANA NOGUEIRA
Fátima Roberta de Oliveira
Estudo da Cônicas: história, definição e aplicações
História das Cônicas
Por volta de 350 a .c o geômetra grego Menaechmus (380 – 320 a .c) tentando resolver o problema da duplicação do cubo deu os primeiros passos na direção da Geometria Analítica. Na solução que obteve do problema ele utilizou duas curvas inventadas por ele: uma parábola e uma hipérbole, uma terceira curva denominada elipse surgiu como subproduto de sua invenção. Até hoje essas três curvas são chamadas secções cônicas.
Entretanto, foi Apolônio de Perga(260 – 200 ac ) astrônomo e matemático grego nascido na cidade de perga que fez o primeiro estudo sistemático das cônicas. Apolônio atribuiu às cônicas a designação até hoje utilizada: Elipse, Hipérbole e Parábola. Apesar de não ter sido o primeiro matemático a falar das cônicas, pois Menaechmus já havia realizado trabalhos sobre as secções, foi Apolônio quem as batizou de Secções Cônicas e aprofundou o estudo sobre as mesmas, recebendo assim o título de Pai das Cônicas.
Apolônio fio considerado um dos mais originais e profundos matemáticos gregos, em sua época houve quem o categorizasse como o sexto homem da lista do doze homens mais notáveis do seu tempo.
“As Cônicas” são a principal obra de Apolônio, composta por oito livros dos quais sobreviveram sete. Em tempos anteriores a essa obra as cônicas eram obtidas através de três tipos diferentes de cone circular reto de acordo com o ângulo do vértice: reto, agudo ou obtuso. Apolônio mostrou em sua obra que não seria necessário tomar secções perpendiculares a um elemento do cone e que através de um único cone seria possível obter todas as espécies de secções variando apenas a posição do plano que intersecta a superfície do cone.
Apolônio teve precursores no estudo das cônicas como: Menaechmus, Aristeu e Euclides, porém foi ele o matemático que mais estudou e desenvolveu as Secções Cônicas deixando várias contribuições sobre o estudo.
O que são Cônicas
Em geometria, entende-se por cônicas as curvas geradas através da intersecção de um plano que corta um cone. Em um cone existem três tipos de cortes que podem ser obtidos gerando a: Elipse, hipérbole e parábola.
Elipse é a cônica onde um plano inclinado em relação ao eixo intersecta todas as geratrizes. Pode ser definida ainda como o conjunto de pontos de um plano onde a soma das distancias desses pontos à dos pontos fixos (F1 e F2) é um constante (2a), maior que a distancia entre os pontos fixos.
São considerados elementos da Elipse:
- Os focos (F1 e F2) dois pontos fixos dentro do plano, a distancia entre esses pontos é chamada de distancia focal e mede 2c.
- O centro da elipse (0, 0) é considerado também o ponto médio entre os focos.
- O eixo maior é o segmento que passa pelos focos e sua medida é 2a
- O eixo menor é segmento que passa pelo centro e é perpendicular ao eixo maior.
- Os pontos A1 e A2 são vértices.
Excentricidade na elipse é a razão entre a distancia focal e a distancia entre os vértices e = c/a. A excentricidade indica se a elipse é mais ou menos achatada, quanto maior o seu valor mais achatada é a elipse.
Equação da Elipse
O ponto de partida para chegar à equação da elipse é equação PF1 + PF2 = 2a, onde P é um ponto do plano e F1, F2 são os focos.
d (P, F1) + d (P , F2)= 2a
Elevando ao quadrado a expressão e desenvolvendo chega-se à equação:
Esta é a equação reduzida da elipse com focos no eixo (x) onde o denominador de x² é maior que o denominador de y², ou seja, a²>b².
Existe um caso ainda em que a origem do sistema de coordenadas é centro da elipse e os focos estão localizados no eixo y, neste caso o denominador de x² é menor que o denominador de y² e a equação é escrita na forma: x²/b² + y²/a²=1.
A Hipérbole
Hipérbole é o conjunto dos pontos P de um plano onde a diferença (em módulo) da distancia desses pontos a dois pontos fixos (F1, F2) no plano é igual a uma constante: 2a, sendo 2a<2c com F1F2 = 2c. ou é ainda a cônica definida na intersecção de um plano que penetra um cone de forma paralela ao seu eixo.
Equação da Hipérbole
Considerando a hipérbole cujos focos pertencem ao eixo x e a origem do sistema de coordenadas é o ponto médio do segmento onde as extremidades são os focos tem-se:
Um ponto P (x, y) só pertence à curva se satisfazer a condição
│PF2 – PF1│= 2a
Desta forma:
Elevando ao quadrado e desenvolvendo a equação acima tem-se ao final a equação reduzida da hipérbole com focos sobre o eixo x: x²/a² +y²/b² = 1
Se os focos pertencerem ao eixo y a forma padrão da equação é: y²/a² + x²/b² = 1
A parábola é o conjunto dos pontos de um plano que tem a mesma distancia de um ponto fixo chamado foco e de uma reta d chamada diretriz, também fixa no plano, ou é ainda a cônica definida na intersecção de um plano que penetra a superfície de um cone.
São elementos da parábola:
- O ponto F, foco da parábola
- A reta d, diretriz da parábola,
- O vértice (v) que também é ponto médio do foco à diretriz.
- A reta que passa pelo foco e é perpendicular a diretriz, chamada de eixo de simetria da parábola.
Equação da Parábola:
Para obter a equação da parábola deve-se considerar dois casos:
Quando o sistema da coordenadas cartesianas com origem no vértice tem eixo de simetria contido no eixo (x). Neste caso, usando a formula da distancia, um ponto (P) só pertence á parábola se satisfazer à condição: d (F, P) = d (d, P)
A equação será: y² = 2px
Se o eixo de simetria está contido no eixo (x) os pontos do plano podem ser maiores ou menores que zero, se (P>0) a concavidade da parábola é voltada para direita, se (P<0) a concavidade é voltada para a esquerda.
P<0 P>0
Quando o sistema de coordenadas cartesianas com origem no vértice tem eixo de simetria contido do eixo(y): d (F, P) = d (d, P)
A equação será: x² =2py
Neste caso. Se o eixo de simetria está no eixo (y) os pontos do plano podem ser maiores ou menores que zero. Se (P>) a concavidade da Parábola é voltada para cima. Se (P<0) a concavidade da parábola é voltada para baixo.
Aplicação das Cônicas
“Cada planeta move-se em torno do sol com uma trajetória que é uma elipse, da qual o sol ocupa um dos focos”.
1º Lei de Kepler
Esta foi uma das primeiras contribuições das cônicas no campo da astronomia. Acreditava-se há séculos atrás que a terra era o centro do universo e que os planetas giravam em volta da terra gerando órbitas circulares, foi o astrônomo e matemático alemão Johanes Kepler que após diversos trabalhos e observações astronômicas concluiu que as órbitas dos planetas eram elípticas e que estes giravam em torno do sol e não da terra como eram as concepções anteriores.
A aplicação das cônicas estende-se também à óptica e acústica, a propriedade da parábola de que todo raio luminoso que incide num espelho parabólico, paralelamente ao eixo, reflete-se passando por um ponto fixo é utilizada para justificar o funcionamento dos espelhos parabólicos que captam ondas de rádio, de radar ou de ondas eletromagnéticas.
Na engenharia e arquitetura, pelas propriedades físicas e estéticas, as cônicas são utilizadas na construção de torres, cúpulas e pontes.
Na tecnologia atual as cônicas também têm aplicações, é através de algumas antenas parabólicas que torna-se possível receber programas de televisão estrangeiros.
Conclusão
As descobertas e o desenvolvimento da matemática contribuíram de maneira bastante significativa para o crescimento da humanidade, tratando-se em especial das formas cônicas que surgiram por volta de (260-200 ac ), são varias as suas aplicações seja no campo da astronomia, da engenharia e arquitetura, da óptica e acústica ou da tecnologia atual.
A importância do estudo das cônicas está em mostrar que mais do que formas e desenhos estas secções não foram reconhecidas por acaso pois foi através do estudo das mesmas que outras transformações ocorrem, uma das mais importantes foi em 1610 quando Johanes Kepler, astrônomo e matemático alemão, por meio de suas observações conclui que as órbitas dos planetas era elipses e não circunferências, com pensava-se antes, a partir daí outras revelações ocorreram, descobriu-se que o estudo das cônicas poderia ser aplicado na construção de torres e pontes, em satélites de comunicação, em faróis de navegação, antenas parabólicas entre outros.
Desta forma, é possível observar que por trás dos meios de comunicação e de tecnologia de dispomos hoje ouve a preocupação de diversos estudiosos em dar um passo na direção do desenvolvimento por meio de suas grandes descobertas.
Referencias Bibliográficas
GIOVANNI, José Ruy, 1937 – Matemática, 3 : geometria analítica,números complexos,polinômios, limites e derivadas,noções de estática : 2º grau / José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno. – São Paulo : FTD, 1992.
DANTE, Luiz Roberto, Matemática, volume único/ Luiz Roberto Dante. 1. ed.
São Paulo : Ática,2005.
COMENTÁRIO: A pesquisa e a produção escrita é importantíssima para a aprendizagem, o trabalho visa verificar a maturidade do aprendente com relação a determinado assunto, relacionado ao conjunto teórico da área de conhecimento do trabalho em questão.
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