SUMÁRIO

Resumo.................................................................................................................................. 03

Introdução.............................................................................................................................. 04

História das Cônicas............................................................................................................ 05

Idéia Central........................................................................................................................... 06

Conceitos Básicos................................................................................................................ 07

Conclusão.............................................................................................................................. 12

Referências Bibliográficas.................................................................................................. 13

FACULDADE DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE AFOGADOS DA

INGAZEIRA – FAFOPAI

WMBERTO WBIRATAN LOPES DE OLIVEIRA

Professora Eliana Nogueira

AS CÔNICAS E SUAS TRÊS FACINANTES CURVAS: ELIPSE, HIPÉRBOLE E PARÁBOLA.

Resumo: Tendo como base desse artigo as cônicas e suas curvas, venho por meio deste expressar definições e ilustrações simples e precisas, que serão vistas ao longo desse artigo.

Sendo assim temos:

          

Elipse: quando o plano      Hipérbole: quando o           Parábola: quando o plano for

intercepta todas as             plano for paralelo ao             paralelo a uma geratriz do cone.

geratrizes do cone essa      eixo do cone, e intercepta 

curva se chama elipse.      as duas folhas do cone.

Introdução

O presente artigo tem por finalidade apresentar o estudo de cônicas e suas curvas: elipse, hipérbole e parábola, baseado nos estudos do matemático grego Apolônio.

Sem dúvida é fundamental ter um domínio das propriedades das três curvas, visto que Apolônio chamou de cônicas as curvas que podem ser obtidas quando um plano secciona uma superfície cônica dupla. Embora a circunferência também possa ser obtida por esse processo, Apolônio deteve-se na análise da elipse, da hipérbole e da parábola, que serão os objetos de estudos desse artigo. 

Conteúdo Histórico

As Cônicas surgiram, inicialmente como resultado da intersecção de um plano com um cone de revolução, “este é gerado pela revolução de um triângulo retângulo, em torno de um dos seus catetos (eixo de revolução), dando uma volta completa”, como iremos ver no exemplo abaixo:

Cone de Revolução

Dependendo da forma como o plano intersecta a superfície se obtém as diferentes Cônicas, como iremos ver no exemplo a seguir:

 Os primeiros Matemáticos a falar em Cônicas, foram Menaechmo, Aristeo e Euclides, realizando trabalhos sobre secções de Cones de Revolução.

Mas quem a batizou e as estudou minuciosamente, foi um Matemático e geômetra grego, que viveu em Perga, na cidade de Panfília (Ásia Menor) 262 a.C. Estudou em Alexandria, na escola dos sucessores de Euclides, foi do mesmo tempo de Arquimedes, sendo considerado um dos mais originais e profundos matemáticos gregos, este era conhecido como: Apolônio de Perga, o grande sucessor de Euclides.

 

Na Antiguidade, Elipse, Hipérbole e Parábola eram definidas como interseções de superfícies cônicas com planos. Não se conhecia naquela época o método analítico, que teve seu advento somente no século XVII da nossa era. No século III a.C., a Elipse era vista como interseção de uma superfície cônica com um plano que não contém o vértice, não é perpendicular ao eixo e intercepta apenas umas das folhas. A Hipérbole, como interseção de com no caso em que não contém o vértice e intercepta s duas folhas. A Parábola, como interseção de  com  no caso em que este é paralelo a uma geratriz. Por esse motivo as três curvas são conhecidas como seções cônicas.

Idéia Central

Demonstrar os detalhes e definições de elipse, hipérbole e parábola, dentro de cônicas assim como fez o grego Apolônio.

Conceitos Básicos

-Definição

Cônicas

As cônicas - hipérbole, parábola, elipse e a circunferência - possuem todas elas, um aspecto singular: Podem ser obtidas através da interseção de um plano convenientemente escolhido com uma superfície cônica, conforme mostrado na figura a seguir:

 Parábola é quando um plano está paralelo a geratriz;

 Circunferência é quando um plano está perpendicular a o eixo do cone;

Elipse é quando um plano toca todas as geratrizes e corta apenas uma das folhas do cone;

Parábola é quando um plano toca as duas folhas do cone;

Elipse

1 – Definição: Dados dois pontos fixos F₁ e F₂ de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se elipse, à curva plana cuja soma das distancias de cada um de seus pontos P a estes pontos fixos F₁ e F₂ é igual a um valor constante 2a , onde a > c.
Assim é que temos por definição:
PF₁ + PF₂ = 2 a
Os pontos F₁ e F₂ são denominados focos e a distancia F₁F₂ é conhecida com distancia focal da elipse.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da elipse. Como, por definição,
a > c, podemos afirmar que a excentricidade de uma elipse é um número positivo menor que a unidade.

Veja a figura abaixo, que é elucidativa:

NOTAS:
1 – o eixo A₁A₂ é denominado eixo maior da elipse.
2 – o eixo B₁B₂ é denominado eixo menor da elipse.
3 – é válido que: a² - b² = c², onde c é a abscissa de um dos focos da elipse.
4 – como a excentricidade e da elipse é dada por e = c/a , no caso extremo de termos b = a, a curva não será uma elipse e sim, uma circunferência, de excentricidade nula, uma vez que sendo b = a resulta c = 0 e, portanto e = c/a = 0/a = 0.
5 – o ponto (0,0) é o centro da elipse.
6 – se o eixo maior da elipse estiver no eixo dos y e o eixo menor estiver no eixo dos x, a equação da elipse passa a ser:

“A Elipse é curva, da soma de seu ponto P(x;y) com seus pontos focais F1(-c;0) e F2(c;0);

F1 e F2 são os pontos fixos da Elipse, são o seu foco e a distância entre eles é chamada distância focal;

Os pontos A1 e A2 são o eixo da elipse que corta a reta das ordenadas;

Os pontos B1 e B2 são o eixo da elipse que corta a reta das abscissas;

A excentricidade é a divisão da abscissa c que está no ponto F1 com a abscissa a que está no ponto A1.”

2 – Equação reduzida da elipse
Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e sejam F₁(c,0) e F₂(-c,0) os seus focos. Sendo 2.a o valor constante com c < a, como vimos acima, podemos escrever:
PF₁ + PF₂ = 2.a
Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:

Observe que x – (-c) = x + c.
Quadrando a expressão acima, vem:

Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:
b².x² + a².y² = a².b², onde b² = a² – c²
Dividindo agora, ambos os membros por a²b² vem finalmente:

“A equação reduzida da Elipse é feita a partir da soma dos pontos F1 e F2 que é igual a o dobro de a, depois usa-se nessa equação a fórmula de distância entre dois pontos , quando encontramos o resultado dessa distância dividiremos todos os membros por a²b² o resultado que iremos encontra será a equação reduzida da Elipse”:  

Hipérbole

1 – Definição:  Dados dois pontos fixos F₁ e F₂ de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se hipérbole, à curva plana cujo módulo da diferença das distancias de cada um de seus pontos P a estes pontos fixos F₁ e F₂ é igual a um valor constante 2a , onde a < c.
Assim é que temos por definição:
½ PF₁ - PF₂ ½ = 2 a

A hipérbole é curva que será calculada da diferença de seus pontos focais com seus pontos P, a neste caso será menor que c, como aparece no gráfico, mas em vez das curvas formarem um círculo como na Elipse, na Hipérbole uma a frente da outra.

2 – Equação reduzida da hipérbole
Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hipérbole e sejam F₁(c,0) e F₂(-c,0) os seus focos. Sendo 2.a o valor constante com c > a, como vimos acima, podemos escrever:
½ PF₁ - PF₂ ½ = 2 a
Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:

Observe que x – (-c) = x + c.
Quadrando a expressão acima, vem:

Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:
b².x² - a².y² = a².b², onde b² = c² – a² , conforme pode ser verificado na figura acima.

Dividindo agora, ambos os membros por a²b² vem finalmente:

A equação reduzida da Hipérbole é feita a partir da diferença da metade dos pontos F1 e F2 que é igual a o dobro de a, depois usa-se nessa equação a fórmula de distância entre dois pontos , quando encontramos o resultado dessa distância entre dois pontos , quando encontramos o resultado dessa distância dividiremos todos os membros por a²b² o resultado que iremos encontra será a equação reduzida da Hipérbole:  

Parábola

1 - Definição :  Considere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F (foco) pertencente ao eixo das abscissas (eixo dos x), conforme figura abaixo:
Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que
PF = Pd onde:
PF = distância entre os pontos P e F
PP' = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz).

“A parábola é a curva plana pelos pontos P(x,y) que tem que tem F seu foco que fica no eixo das abscissas,a parte da curva que toca o eixo das abscissas é o seu vértice, esse vértice é o ponto médio do foco ao ponto da reta d que toca o eixo das abscissas.“

  - Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem
Observando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco da parábola, e P(x,y) - um ponto qualquer da parábola. Considerando-se a definição acima, deveremos ter: PF = PP'

Daí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano:

Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima, chegaremos à equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem, a saber:
y² = 2px onde p é a medida do parâmetro da parábola.  

A equação reduzida da parábola é feita pelo conceito da distância do ponto F ao ponto ao ponto P é igual à distância do ponto P’ que está localizado na reta d ao ponto P, este forma a curva da parábola, daí usamos a formula da distância entre pontos do plano cartesiano e chegaremos à equação reduzida y² = 2px.

Conclusão:

Nesse artigo foram apresentadas as cônicas desde seu conceito histórico falando como ela surgiu, quem foram os primeiros matemáticos a tratar do assunto, até chegar a seu criador Apolônio,que estudou seções cônicas de uma maneira mais minuciosa dando enfoque em elipse,hipérbole e parábola.

Para cada tipo de curva demonstramos seus conceitos diante de uma cônica, baseado na parte escrita e também através de gráficos e de seus conceitos em si. Vimos suas definições, como ela é retratada em gráfico cartesiano e como chegar até sua equação reduzida.

Diante do exposto concluo que a importância de aprender cônicas se dá pelo fato que ela pode ser usada em diversas áreas, como na astronomia,na arquitetura e na engenharia de acordo com o indivíduo que deseje seguir algumas dessas carreiras. Sem deixar de mencionar, é claro, os benefícios que o restante da população tem e usufrui; graças a esse ramo da matemática e a esses profissionais que se dedicam a estuda- lá.

Referências Bibliográficas

CAMARGO, Ivan de.  Geometria Analítica/ Ivan de Camargo, Paulo Boulos 3ª Ed. Ver. E ampl.- São Paulo: Prentice Hall, 2005

SMOLE, Kátia Cristina Stocco Matemática- ensino médio- Volume 3- 3ª  série/Kátia Cristina Stocco, Maria Inês de Sousa Vieira Diniz- 5.ed.- São Paulo: Saraiva, 2005.

http://matematikos.psico.ufrgs.br/disciplinas/ufrgs/mat10392k2/ens22k2/bolinha/rio_de_janeiro_02html

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm33/historia.htm

COMENTÁRIO: Analisar o trabalho para formar e transformar: a auto-análise do trabalho ao conteúdo exposto num contexto de desenvolvimento e transmissão de competências do estudo realizado se está dentro do que foi sugerido.