Seções Conicas

Seções Cônicas

Maria Laiane Torres dos Santos 4° período de Matemática
(FAFOPAI-AEDAI)
Professora: Eliana Nogueira
Disciplina: Geometria Analítica

Estudaremos as curvas cônicas não degeneradas que são obtidas cortando um cone com um plano, dependendo de como é feito o corte e da sua inclinação temos: Parábola, Elipse e Hipérbole. E também um pouco da história das cônicas e a sua presença ao nosso redor.

Parábola

Seccionando um cone circular reto com um plano paralelo a geratriz, obtemos a parábola, que pode ser definida como uma curva plana constituída de todos os pontos que são equidistantes de uma reta fixa d(diretriz) e um ponto fixo F(foco) que não pertence à diretriz.

Equação da Parábola de vértice V(0,0)

Podemos chegar a equação da parábola formada por todos os pontos p(x, y) do plano, através do foco (F) a da diretriz(d), sabendo que a distância dos pontos ao foco é sempre igual a distância do ponto a diretriz (d(P,F)=d(P,D)).
Considerando o foco F(c,0) e a diretriz x= -c
y2 = 4cx equação da parábola
Considerando o foco F(0,c) e a diretriz x= -c
x2 = 4cy equação da parábola
Considerando o foco F(-c,0) e a diretriz x= c
y2 = - 4cx equação da parábola
Considerando o foco F(0,-c) e a diretriz x= c
x2 = -4cy equação da parábola

Elipse

Seccionando um cone circular reto com um plano inclinado em relação ao eixo intersectando todas as geratrizes do cone obtemos a elipse. Que pode ser definida como uma curva plana que mantém constante a soma de suas distâncias a dois pontos fixos F e F'(focos) em 2a, e que essa constante é maior que a distância entre os focos chamada de 2c. (2a>2c).
As elipses têm excentricidade maior que 0 e menor que 1, dependendo do seu formato mais alongada e fina tem excentricidade perto de 1 e as mais circulares têm excentricidade perto de 0. e= c/a sabendo que c
Equação da elipse

Considerando os focos F=(-c,0) e F'(c,0)
x2/a2 + y2/b2 =1 equação da elipse
Considerando os focos F=(-c,0) e F'(c,0)
x2/b2 + y2/a2 =1 equação da elipse

Vale que para toda elipse temos: a2=b2+c 2
a2-c2=b2

Hipérbole

Seccionando um cone duplo com um plano que corte as duas folhas obtemos a hipérbole. Que pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos P(x,y) que mantém constante a diferença de suas distâncias(em módulo) a dois pontos fixos F e F'(focos), essa constante denominada de 2a é menor que a distância entre os focos 2c, (2a<2c).
|PF’- PF| = 2ª
Vale que para toda hipérbole: c2=a2+b 2
c2-a2=b2

Equação da Hipérbole
Considerando os focos(c,0) e F’(-c,0)
x2/a2 - y2/b2 =1 equação da hipérbole
Considerando os focos(c,0) e F’(0,-c)
y2/a2 + x2/b2 =1 equação da hipérbole

Um pouco de história sobre as cônicas

No período helenístico destacaram-se os matemáticos gregos Arquimedes, Apolônio e Euclides.
Foi Apolônio quem introduziu os nomes: Parábola, Elipse e Hipérbole para as curvas cônicas até hoje utilizados. Compôs uma importante obra "As Cônicas" o que lhe valeu o título de Grande geômetra e contribuiu de forma significante para o desenvolvimento da Geometria.
Os desenvolvimentos à volta das secções cônicas efetuados nessa altura vieram a estar na base da formulação de várias teorias sobre curvas no séc. XVII. Por exemplo, Kepler usou a elipse para descrever as trajectórias dos planetas e Galileu a parábola para representar o movimento de projecteis na terra.
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/conicas.htm

Estas curvas podem ser encontradas na Natureza e por isso mesmo foram objecto de estudo para diversos matemáticos. A elipse, por exemplo, corresponde à geometria das órbitas de alguns planetas e cometas. A hipérbole corresponde à geometria das trajectórias de alguns cometas e de outros corpos celestes. A parábola corresponde à trajectória de um projéctil lançado num campo gravítico, como se pode verificar com um jacto de água. Pode ainda ser encontrada na forma da luz de uma lanterna projectada numa superfície plana.
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/conicas.htm
Conclusão
Podemos concluir que a importância das seções cônicas antigamente e atualmente é muito grande, por exemplo, são instrumentos importantes nas explorações espaciais dos dias de hoje, e estão presentes no nosso dia a dia. As seções cônicas já existiam mas o seu estudo foi uma contribuição significante no desenvolvimento da Geometria e no mundo.
Referências

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/conicas.htm
http://matematicalife.blogspot.com/2010/03/como-quando-e-por-que-surgiram-as.html

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm26/aplicacoes.htm

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm33/historia.htm